Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Лекции / F-03-Lektsia_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2024

Размер:

567.13 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Ф-03- Лекция 1. Двойной интеграл. П.1 Измеримые множества на плоскости. Мера множества.

ОПР. Областью G на плоскости назовем открытое, связное множество, т.е.

1) вместе с каждой точкой			P G	области принадлежит и внутренность

некоторого круга	U	(P) M R2		: (M , P)
				с центром в точке P ;

2) для любых двух точек P

: ; R
2	, для которой
	, для которой

Q области G ( ) P, (

существует

) Q	(t)
,

непрерывная кривая G, t ;

ОПР. Границей области

называют множество точек

плоскости, для

которых любой круг

0 U

(T )

с центром в точке

содержит точки

M G

и точки	M G	.

ОПР. Множество G G G называется замкнутой областью (замыкание G ).

ОПР. Многосвязная область – конечное объединение односвязных областей. ОПР. Область G ограничена, если существует круг на плоскости,

содержащий G .
ПРИМЕРЫ областей.				(x, y) R		: a x b, c y d
1. Прямоугольник			a,b	(x, y) R	2	: a x b, c y d		- замкнутая
1. Прямоугольник			a,b		2			- замкнутая
		П	c,d
		П
область, параметр прямоугольника					d(П)		- длина его диагонали.
область, параметр прямоугольника							- длина его диагонали.
2. Ступенчатая область G - объединение конечного числа прямоугольников
П	пересекающихся только по границе.
,	пересекающихся только по границе.

Ступенчатая область G	вписана в G , еслиG G , и описана около G ,
если G G

Параметром d( ) ступенчатой области называют число d( ) = max d (П ) .

Он характеризует малость диагоналей прямоугольников, составляющих G .

Объединением двух ступенчатых областей G 1 и G 2 назовем ступенчатую область G ,

для которой 1)				G		G	G		( как множества на плоскости) 2) набор
для которой 1)				=				2	( как множества на плоскости) 2) набор
						1		2
прямоугольников					П				, составляющих G , удовлетворяет условиям :
прямоугольников						,			, составляющих G , удовлетворяет условиям :
для любых прямоугольников									П			,	1		и	П			,			2		2	существуют наборы
для любых прямоугольников											1	,	1	1	и			2	,			2		2	существуют наборы
											1							2
	1	и	2 прямоугольников из							, для которых							П			1	П				и	П	2	П		.
	1	и	2 прямоугольников из							, для которых										1					и		2		2	.
																							1						2

Очевидно,

d( ) d( 1 )

и	d

( )

d(	2	)
	2

3. Криволинейная трапеция			K	a,b	( f , g, x)				x, y : a x b, g(x) y f (x) , где
3. Криволинейная трапеция				a,b					x, y : a x b, g(x) y f (x) , где
функции	f (x), g(x)	- непрерывные функции на отрезке								a;b	. Границей
										a;b
области являются: прямые			x a			и	x b	, а также графики функций
области являются: прямые						и		, а также графики функций
f (x), g(x)
	. Такую область будем называть стандартной по оси ОХ.

Стандартной областью по оси ОУ будем называть криволинейную трапецию

K	с,d

( , , y)

x, y : c y d, ( y) x ( y) .

4. Область с кусочно-гладкой границей – объединение конечного числа стандартных областей по осям ОХ и ОУ, пересекающихся только по

участкам прямолинейных границ, а функции f (x), g(x) , ( y), ( y) – дифференцируемые на соответствующих отрезках.

ОПР. Верхней мерой области G называют число

(G) inf S G

где

S G

- сумма площадей

- ступенчатые области, описанные около

прямоугольников, составляющих

ОПР. Нижней мерой области G называют число

(G) sup S G

, где

ступенчатые области, вписанные в G ,

S G

S ( П

) - сумма площадей

прямоугольников, составляющих

Числа (G) и (G) существуют для любых ограниченных областей плоскости.

ОПР. Область	G	на плоскости называется измеримой, если

			(G) = (G) = (G) .

Число (G) называется мерой (площадью) области G . В рассмотренных примерах:

1.	( П	c,d	)=	(b a) (d c)	.
		a,b

на

3.

(

b Ka,b ( f , g, x)) ( f a

(x)

g(x))dx

(

d Kс,d ( , , y)) ( ( y) ( y))dy

Верхняя и нижняя меры этих областей совпадают с верхним и нижним интегралами подынтегральных функций и их равенство равносильно интегрируемости этих функций.

Измеримость областей из примеров 2) и 4) следует из того, что они составлены из конечного числа областей 1) и 3).

СВОЙСТВА МЕРЫ.

1.	(G) 0			.
1.				.
2. Если области					G			G				G		G		(G ) (G )		.
2. Если области						1 и			2 измеримы и			1		2 , то		1	2	.
3. Если G измеримая область, то											( G) 0 .
ДОК.		0				,		:	области	G	,	G		- вписанная и описанная такие, что
ДОК.					1		2		области				2	- вписанная и описанная такие, что
											1		2
G G			/ G
G G			/ G		и 0 ( G) ( G) ( G										/ G ) , т.е. ( G) ( G) 0
		2		1										2	1

4. Если области G1 и G2 измеримые и пересекаются только по границе, то

(G1 G2 ) (G1 ) (G2 ) .

5. Если области

измеримы, то измеримы

G G

и 2

(G G ) (G ) (G ) (G G )

П.2 Понятие двойного интеграла.

Пусть функция

f (x, y)

определена в измеримой области

на плоскости и

или описанная около нее. В каждом

- ступенчатая область, вписанная в

прямоугольнике

выбирается произвольная точка

ОПР. Интегральной суммой функции

f (x, y)

в области

, называют

выражение

SG ( f , ) f (M ) (П ) ,

зависящее от выбранной ступенчатой области G и набора точек M ОПР. Интегралом Римана функции f (x, y) по области G , называют

	П

число

(x,

y)dxdy

lim d ( ) 0

S	G	( f , )
	G

0	: G	, (G ) (G) , d		, M

S f ( , M ) f (x, y)dxdy
	G
Если интеграл существует, то функция			f (x, y) называется интегрируемой по
Риману в области G .

ПРИМЕР 1. Вычислить, исходя из определения, интеграл

xydxdy

П0,1

0,1

РЕШЕНИЕ.

Разобьем прямоугольник

П	0,1	n
П		П

	0,1	i, j 1	i, j
		i, j 1

на прямоугольник

П(x, y) : i 1 x i ,

i, j

n n

	j 1
	n
	n

j n

1,2,...n

j 1,2,...n

Функция	f (

разбиения на

x, y) xy	П	0,1
		0,1
интегрируема на

прямоугольники и выбора точек

и интеграл не зависит от

M		П
		. В качестве точек

возьмем

M		(	i	;	j	)
	i, j		n		n

. Тогда интегральная сумма

i j

S f (П, )

(Пi, j )

i 1

j 1

n n

i j 1

n(n 1)

(n 1)

i j

i 1 j 1

i 1

j 1

i 1

Параметр разбиения равен d ( )		2	и стремится к нулю с ростом n .
	n

xydxdy

П0,1

0,1

= lim

d ( ) 0

S	G	( f
	G

, )

	(n 1)		2
lim
	4n	2
n

1 4

ТЕОРЕМА 1. (необходимое условие интегрируемости)

Если функция интегрируема на G , то функция ограничена на G . ДОК. Если функция интегрируема, то все ее интегральные суммы

ограничены. Если бы функция оказалась неограниченной, то она была бы

					П	G
неограниченной на некотором прямоугольнике						и существует
последовательность точек	M		П	G , для которых			f (M	) n	.
последовательность точек		n	, M	G , для которых				n	.
		n		n				n

Тогда последовательность интегральных сумм, у которых не меняются точки

для

, а

M			M	n

неограниченная, поскольку одно из слагаемых в

сумме f (M n ) (П ) n (П )

растет к

с ростом

, а другие неизменны.

Колебанием функции

(x,

(

называют величину:

)	sup f (M	1 ) f (M	2 ) .
	( M1 ,M 2 )

Здесь через

(M	, M	)
1	2


f (M )	обозначено значение функции			f (x, y)	в точке
	обозначено значение функции				в точке
- расстояние между точками M1		и M2	на плоскости.

M (x,

Замечание. Если функция	f (x, y)	непрерывна на замкнутом, ограниченном

множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве и функция

	f	( )	переменной		непрерывна в нуле.

Лемма. Пусть G П - прямоугольник с параметром d(П) и

П

- его разбиение на прямоугольники, пересекающиеся только по

границе. Функция f (x, y) непрерывна на							П . Тогда для любых точек
и	M	П
и		справедлива оценка:
			f (M	) (П		) f (M ) (П)		( ) (П)	(1)
							f		(1)

ДОК. f (M ) (П ) f (M ) (П )							f (M ) f (M (П , )

f (M ) f (M ) (П )					f ( ) (П ) f ( ) (П) .

M П

ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия интегрируемости)

Всякая непрерывная функция на замкнутом, ограниченном и измеримом множестве G интегрируема на G .

ДОК. Покажем, что последовательность интегральных сумм удовлетворяет

критерию Коши, т.е.

: G

, G

(G)

d ( ) , d (

) , M

, M

(

, M

) S

(

, M

)

Пусть

Рассмотрим объединение

ступенчатых областей

2 .

П G

Пусть

набор прямоугольников из

таких, что

1 для

П G

Пусть

- набор прямоугольников из

таких, что

для

Из измеримости области

следует, что мера объединения таких

прямоугольников мала, т.е. существует , для которого

для любых

, для которых

d (

)

(G)

d( )

Здесь

- константа, ограничивающая значения функции

f (x, y)

области

. Кроме того, из условия равномерной непрерывности функции

f (x, y) на G

полагаем, что число

столь малое, что

( )

8 (G)

(П

) 2 (G)

(П

) 2 (G)

Тогда

( , M

) S

(

, M

)

f (M ) (П ) f (M 1 ) (П 1 ) f (M ) (П )

1 1

Поскольку каждый прямоугольник

является объединением

прямоугольников

для

, к нему применимо утверждение леммы:

(G, ) S

(G,

)

( )

(П

) L

(П

)

(2)

Аналогичное неравенство справедливо для области G

(G, ) S

(G,

)

(3)

Объединяя неравенства (2) и (3), приходим

S	(	, M		) S	(	, M		) S	(	, M		) S	( , M	) S	( , M	) S	(	, M
f	1			f	2		2	f	1			f		f		f	2		2
			1				2				1								2

S f ( 1, M ) S f ( , M ) + S f	( , M ) S f	( 2 , M 2 )			.
			2	2
1

Поскольку последовательность интегральных сумм фундаментальная, она сходится.

ЗАМЕЧАНИЕ. Интегрируемость функции сохранится, если	f (x, y)	кусочно-

непрерывна на	G	, т.е. существует конечное число измеримых областей		G	j ,

G G j , пересекающихся только по границе, на которых функция			f (x, y)
j

)

непрерывна во внутренних точках и непрерывно продолжена на границу	G	j

ЗАМЕЧАНИЕ. В определении двойного интеграла могут быть использованы

разбиения области G на области Gi

) 0

lim max d (G

G G

)

i 1

				П					n
вместо прямоугольников				, поскольку в силу измеримости				Gi
приблизить прямоугольниками.
СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА.
1.Свойство линейности:							2
	1	2		1			2
		f (x, y)	g(x, y) dxdy			f (x, y)dxdy			g(
G					G		G

их можно

x, y)dxdy .

ДОК. Следует из линейности интегральных сумм и свойств пределов.

2. Если f (x, y) 0		интегрируемая функция на G , то		f (x, y)dxdy 0		.
2. Если f (x, y) 0		интегрируемая функция на G , то				.
	G		G
Если в точке P	G	функция непрерывна и f (P) 0	, то		f (x, y)dxdy 0
					f (x, y)dxdy 0

				G

ДОК.

Неотрицательность интеграла следует из не отрицательности любой интегральной суммы. Из положительности функции в точке P следует, что

существует круг

U (P)

с центром в точке P, внутри которого функция положительна

f (x, y)dxdy

f (x, y)dxdy 0

U ( P)

3. Если

f (x, y)

непрерывна в области

M max f ( p)

m min f ( p)

, то

p G

справедлива оценка

m (G)

M (G) .

f (x, y)dxdy

ДОК. Каждая интегральная сумма удовлетворяет неравенству

m (G) S

(G, ) M (G)

и неравенство для интеграла получается

предельным переходом.

4. (теорема о среднем для интеграла)

Если f (x, y) непрерывна в области

(компакте), то существует точка c G

для которой

f (x, y)dxdy

f (c) (G)

ДОК. Область значений непрерывной функции

m; M

. По свойству 3

f (x, y)dxdy

m, M , т.е. найдется c G , для которой

(G)

f (x, y)dxdy f (c)

(G)

5. (аддитивность по множеству)

Если

2 два измеримых множества не пересекаются (или пересекаются

только по границе),

f (x, y)

определена и измерима на

G и G

, то

f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy .

G G

ДОК. Каждой ступенчатой области				G			(
ДОК. Каждой ступенчатой области						1	1
слагаемые в интегральной сумме			S		f	(G
слагаемые в интегральной сумме					f		1
интегралам по областям	G	G
интегралам по областям	1 и	2

)	и	G		(
	и		2
G			, )
		2

) соответствует свои предел которых соответствует

П.3 Повторные интегралы.
ОПР. Для кусочно-непрерывной функции	f (x, y)
d	b
существуют интегралы I (x) f (x, y)dy	и I ( y)
c	a

непрерывными функциями на отрезках a;b и c;d

П c,d

на прямоугольнике a,b

f(x, y)dx , являющиеся

соответственно. Тогда

существуют интегралы

I (x)dx

I ( y)dy

, которые называются повторными

f (x, y)

c,d

интегралами функции

на прямоугольнике

a,b . Их равенство двойному

интегралу функции

f (x, y)

на Пac,,bd устанавливает

ТЕОРЕМА 3. Пусть функция

f (x, y)

непрерывна на прямоугольнике

c,d

. Тогда

a,b

f (x, y)dx

(4)

f (x, y)dxdy

f (x, y)dy

c a

a c

ДОК. Разобьем отрезок

c; d

точками

c y

, y ,...y

на отрезки

; y

j 1

длины

j 1

и к каждому такому отрезку применим теорему о среднем

для интеграла, т.е. существуют точки

; y

, для которых

j 1

y j 1

i 1

dx f (x, y)dy

f (x, y)dy

y j f (x, y j )dx y j

f (x, y j

)dx

j 0

i 0

Применим к каждому из отрезков

x ; x

теорему о среднем для интеграла, т.е.

существуют точки xi

xi ; xi 1 такие, что

i 1

f (x, y

)dx

f (x , y

) x

j 0

i 0

i, j

Последнее представляет собой интегральную сумму для двойного интеграла

f (x, y)dxdy , существование которого обеспечивается условиями теоремы.

Разбиение	П

близость		f
близость
	i, j

i (xi

,m	y	, y
П			j 1
	j			с достаточно малым

	xi ,xi 1
, j

,y j ) xi y j dx f (x, y)dy

( )
обеспечит как угодно малую
к интегралу.		f (x, y)dxdy
к интегралу.
	П

Поскольку каждый из интегралов является числом, последнее возможно только при их равенстве.

Аналогично доказывается равенство

d	b
dy f (x; y)dx f (x, y)dxdy
c	a	П

Замечание. Теорема остается верной, если условие непрерывности функции f (x, y) на прямоугольнике заменить на условие ее кусочнонепрерывности,

т.е. предположить существование у функции разрывов первого рода на прямых x a1, x a2 ,..., x ak или прямых y b1 , y b2 ,..., y bp .

Функция

f (x, y)

непрерывна в каждом прямоугольнике

П	c	j	,c	j 1

	a	,a		1
	i		i

и к нему

применима доказанная формула

c j 1

i 1

f (x, y)dxdy

f (x, y)dxdy dx

f (x, y)dy

f (x, y)dy dx

i, j

j ,

j 1

i, j

i 1

j 1

Пa

,,a

i 1

dx f (x, y)dy

i 1

Пример 2 Свести двойной

интеграл

f (x, y)dxdy G

к повторному двумя способами, если

- область, ограниченная кривыми Решение

y 3x	2

и	y

6 3x

1			6 3x
Первый вариант:		dx				f (x, y)dy
Первый вариант:
2				3x	2
2				3x
3				y /3			12		(6 y)/3
Второй вариант:	dy					f (x, y)dx		dy			f (x, y)dx
Второй вариант:
0				y /3			3			y/3

Пример 3. Вычислить с помощью повторного интегрирования

РЕШЕНИЕ.

xydxdy

П0,1

0,1

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
17.05.2024567.13 Кб0F-03-Lektsia_1.pdf
#
17.05.20246.66 Mб0Metodichka_Grishina (1).pdf
#
17.05.2024353.18 Кб0VTA_lektsia_11.pdf
#
17.05.2024232.02 Кб0VTA_lektsia_12.pdf
#
17.05.2024382.65 Кб0VTA_Lektsia_13.pdf
#
17.05.2024302.83 Кб0VTA_lektsia_14.pdf